كيفية حل معادلة تفاضلية صريحة من الدرجة الاولى ODE بأستخدام الماتلاب :-

الكل يعلم مدى أهمية المعادلات التفاضلية في الهندسة فنحن لانستطيع وصف أي نظام الا بكتابة معادلات الحركة التي تعطينا فكرة عن سلوك النظام عند تعرضه لمختلف المؤثرات الخارجيه, هذه المعادلات تكون بالاساس معادلات تفاضلية. ولمعرفة سلوك النظام يجب علينا إيجاد الحلول لهذه المعادلات .
توجد معادلات تفاضليه من مختلف الدرجات والسبب لأننا عندما نتعامل مع الانظمه بشكل عملي فلا يوجد بما يسمى نظام من درجة واحدة one degree of freedom وإنما الانظمة الحقيقية تتكون من عدد غير متناهي من الدرجات .
بالطبع إن كتابة معادلات الحركة لهذه الانظمة ليس بالسهولة التي نتصورها فضلا عن حلول هذه المعادلات التي تصف النظام ولتسهيل الامر نضطر لأستخدام طرق تقريبيه لكتابة معادلات الحركة ومن هذه الطرق التقريبية والمقنعه جداً هي الـ finite element analysis حيث تعتمد الطريقة على تقسيم الجسم لعدد من الـ elements وكتابة المعادلات لكل جزء ثم تجميع المعادلات سوية لينتج لدينا system of equations يصف النظام بشكل كامل .إن المعادلات الناتجة سوف تكون على شكل معادلات من الدرجة الاولى وعند معرفة الحلول لهذه المعادلات يمكننا معرفة سلوك النظام بالكامل .
للأنظمة البسيطة نستخدم مايسمى state space representation وهي طريقة تحول المعادلات التفاضلية الى معادلات بسيطة من الدرجة الاولى ويكون الناتج في نهاية الامر أيضا معادلات من الدرجة الاولى .
سوف نشرح حل هذه المعادلات ODE – Ordnary Differential Equation بأستخدام الماتلاب . لنأخذ مثال بسيط وهو نظام يتكون من كتلة وسبرنك ودامبر كما موضح بالشكل :-

مايهمنا الان هو الناتج النهائي أعلاه وبحل المعادلات سوف تكون النتيجة السرعة والازاحة للكتلة المتحركة . لاحظ أن أي نظام ومهما كان معقد يمكن كتابة معادلاته بنفس الصيغه .

خطوات الحل :-

بأستخدام الماتلاب سوف نحتاج ملف لكتابة البرنامج الرئيسي وملف آخر لكتابة الـ function التي تصف النظام بـ state space بعدها يتم إستدعاء الـ function من البرنامج الرئيسي .
-أفتح ملف جديد m-file وعرف المعادلات كالاتي :

function zdot=oscillator(t,z) % definition of the function
global m k
d = 2; % [Ns/m]damping coefficient
zdot = [(-d/m)*z(1)+(-k/m)*z(2);1*z(1)+0] % output

نلاحظ أن الـ function فيها مدخلين z,t والناتج هو zdot وهو متجه من مركبتين كما عرفناه مسبقا .

في البرنامج الرئيسي حيث يتم أستدعاء الـfunction وحلها :-

clear,clc
global m k
m = 1; % [kg]
k = 4; % [N/m]
tspan =0:0.1:10; % integration time
z0 = [0 ; 1]; % arbitrary initial values, z0=[zdot;z]
[t,z]=ode45('oscillator',tspan,z0);
plot(t,z(:,1)); grid on
title('Velocity of the oscilating mass')
xlabel('Time(s)')
ylabel('Velocity')
figure,plot(t,z(:,2)); grid on
title('Displacement of the oscilating mass')
xlabel('Time(s)')
ylabel('Displacement')

الايعاز المستخدم لحل المعادلات هو ODE45 وهو سهل الاستخدام وكل ماعليك فعله هو إستدعاء الدالة وإعطاء زمن التكامل و initial conditions .

بعد تنفيذ البرنامج يمكننا مشاهدة الحل وسوف يكون كما بالشكل أدناه ويمكن مقارنة الحل العددي الذي أستخدمناه مع الحل التحليلي حيث أننا نعرف مسبقا أن حل المعادلات السابقه هو : -

أرجو أن يكون الموضوع مفيد
الموضوع في الملف المرفق

مشكوررررررررررررر لك

مشـــــــــــــــــكور

بارك الله فيك يا أخي

بارك الله بكم

شكراً جزيلاً لك على هذا الموضوع الرائع