أكاديمية أون لاين للتدريب

 

 

النظرية النسبية معادلات متفرقة

نوعان من المتجهات الرباعية نعلم من مبادئ الجبر الخطى ان المتجه يمكن تمثيله بمصوفة عمودية (بها عمود واحد وعدة صفوف)

صفحة 45 من 58 الأولىالأولى ... 3541424344454647484955 ... الأخيرةالأخيرة
النتائج 441 إلى 450 من 573
  1. [441]
    عضو متميز


    تاريخ التسجيل: Aug 2010
    المشاركات: 597
    Thumbs Up
    Received: 2
    Given: 0
    نوعان من المتجهات الرباعية

    نعلم من مبادئ الجبر الخطى ان المتجه يمكن تمثيله بمصوفة عمودية (بها عمود واحد وعدة صفوف) او بمصفوفة صفية (بها صف واحد وعدة اعمدة)
    الان دعنا نمثل المتجه الرباعى على النحو التالى

    حيث المعامل ميو يأخذ القيم 0و 1 و 2 و 3 وبالطبع اذا اخذ ميو القيمة 0 فان هذا يقابل الصف الصفرى و اذا اخذ ميو القيمة 1 فهذا يقابل الصف 1 ...الخ

    لاحظ اننا لكى نضرب اى مصفوفتين فيجب ان يكون عدد اعمدة المصفوفة الا ولى مساوى لعدد صفوف المصفوفة الثانية و فبما عدا هذا فان ضرب المصفوفة الاولى فى الثانية لن يكون معرفا (ممكننا). ولهذا السبب سوف نحتاح الى تحويل المتجه الرباعى من مصفوفة عمودية الى مصفوفة صفية لكى نتمكن من ضربه فى نفسه لكى نحصل على مربع طول المتجه الرباعى .
    ولكى نمييز بين المتجه الرباعى الممثل بمصفوفة عمودية و المتجه الرباعى الممثل بمصفوفة صفية سوف نكتب المعامل ميو اعلى x فى حالة المصفوفة العمودية ونكتبه اسفل x فى حالة المصفوفة الصفية اى ان

    الان نريد استخدم مفهوم ضرب مصفوفتين فى تعريف مربع الفترة ودعنا فقط نضرب المصفوفة الصفية للمتجه الرباعى فى المصفوفة العمودية لحصل على المعادلة التالية

    وبمقارنة سريعة بين هذه المعادالة والمعادلة (10) نجد ان :

    اى ان مركبات الممتدد المترى تعمل على تنزيل المعامل من اعلى x الى اسفل x . من الان ولاحقا سوف نسمى المتجه الرباعى الذى يمثل بمصوفة عمودية (ميو توجد فى اعلى x ) بمتجه كونترافيرينت contravariant اما المتجه الرباعى الذى يمثل بمصفوفة صفية (ميو توجد فى اسفل x) بمتجه كوفيرينت covariant
    وهكذا يعمل الممتدد المترى على تحويل الكونترافيرينت الى كوفيرينت (والعكس ايضا صحيح)


    تمثيل الممتدد المترى

    المعادلة (14) يمكن كتابتها بالصورة المصفوفية التالية

    حيث ان جميع العناصر التى لا تقع فى القطر الرئسى (عندما يختلف رغم الصف عن رغم العمود ) مساوىة للصفر بالنسبة لمثالنا فى الفضاء المستوى رباعى الابعاد ولكن فى الحالة العامة قد لا تساوى جميعها الصفر. وهذه المعادلة توضح كيفية تحويل الكونترافيرينت الى كوفيرينت, والان بتعويض المتجه الكوفيرينت من المعادلة (15) فى المعادلة (13) نحصل على مربع طول الفترة بالصورة المصفوفية التالية

    نلاحظ من هذه المعادلة ان الممتدد المترى عبارة عن مصفوفة مربعة من النظام 4 فى 4 اى ان بها اربعة صفوف واربعة اعمدة وهذه المصفوفة يعبر عنها بالصورة المختصرة التالية :

    وهى تمثل ممتدد مترى من الرتبة الثانية ومن النوع كوفيرينت وذلك لان المعاملات ميو (رغم الصف) و نيو (رغم العمود) موجودة فى اسفل g

    وهى عبارة عن مصفوفة غير شاذه بمعنى انها قابلة للعكس ومعكوسها الضربى هو ايضا مصفوفة مربعة وتسمى بالممتدد المترى من الرتبة 2 ومن النوع كونترافيرينت (لان المعاملات ميو و نيو توجد فى اعلى g) ويعبر عنها بالصورة التالية:

    ومثلما كان الممتدد المترى من النوع كوفيرينت يحول المتجه الرباعى كونترافيرينت الى كوفيرينت فان الممتدد المترى من النوع كونترافيرينت يحول المتجه الرباعى كوفيرينت الى كونترافيرينت

    0 Not allowed!



  2. [442]
    عضو متميز


    تاريخ التسجيل: Aug 2010
    المشاركات: 597
    Thumbs Up
    Received: 2
    Given: 0
    قاعدة تجميع انشتاين

    الان سوف افترض ان القارئ ملم بمبادئ جبر المصفوفات ويستطيع ايجاد حاصل الضرب للمصفوفات فى المعادلة (16) وسوف نحصل على النتيجة التالية بعد اجراء عملية الضرب المباشرة


    لاحظ تكرار 0 فى رغم الصف فى g وفى dx الاةلى فى جميع الحدود فى السطر الاول من المعادلة الاخيرة وهكذا نستطيع كتابة السطر الاول فى شكل مجموع بالصورة التالية:

    اما فى السطر الثانى فيتكرر المعامل 1 وهكذا نستطيع كتابته بالمجموع التالى

    اما فى السطر الثالث فان المعامل المتكرر هو 2 لذا نجد ان :

    واخيرا يتكرر المعامل 3 فى السطر الرابع وعليه يكون

    الان عوض المجاميع هذه فى المعادلة (19) لتحصل على مربع الفترة التالى

    لاحظ تكرر المعامل نيو فى رغم العمود فى g وفى dx الثانية فى جميع حدود المعادلة الاخيرة وهكذا وبنفس الطريقة السابقة نستطيع كتابة تجميع جديد

    عوض هذا التجميع فى المعادلة الاخيرة لتحصل على الصورة التالية لمربع طول الفترة

    قاعدة جمع انشتاين هى اصطلاح اسقاط رمز التجميع عند تكرر معامل مرة فى الاسفل فى حد ومرة فى الاعلى فى حد ثانى لذا نسقط
    رمز التجميع على ميو لظهورها فى الاسفل فى g وفى الاعلى فى dx الاولى و ايضا نسقط رمز التجميع على نيو نسبة لظهورها فى اسفل g وفى اعلى dx الثانية
    لاحظ اننا نسقط رمز التجميع فقط من اجل اختصار الكتابة ولكن لا نسقط عملية التجميع نفسها اى ان تكرار المعامل دليل على عملية تجميع

    والان اذا رفعت معامل فى احد الحدود فيجب تنزيل هذا المعامل فى الحد الاخر اى مثلا نجد ميو فى اسفل g وفى الاعلى فى dx فتستطيع
    رفع ميو فى اعلى g بشرط تنزيله فى اسفل dx ونفس الامر يمكن تطبيقه على نيو لنحصل على


    0 Not allowed!



  3. [443]
    عضو متميز


    تاريخ التسجيل: Aug 2010
    المشاركات: 597
    Thumbs Up
    Received: 2
    Given: 0

    تحويل الاحداثيات


    الان سوف نوقف الحديث عن قوى التثاقل الى حين, وسوف نتناول موضوع تحويل الاحداثيات حتى يتمكن القارئ من فهم الدور
    الذى يلعبُه الممتدد المترى فى وصف منظومة الاحداثيات و ليتعرف ايضا على التغير الذى يطراء على الممتدد المترى عند التحويل من اطار الى اخر .
    دعنا نبدأ بمثال بسيط لمنظومة احداثيات مستوية فى فضاء ثنائ الابعاد, ولتكن المنظومة الكارتيزية x و y
    الان نريد ايجاد تحويل من هذه الاحداثيات الكارتيزيه الى نظام الاحداثيات القطبية (الدائرى) المُعرف بنصف قطر r وزاوية

    يتضح من الرسم اعلاه ان جيب تمام الزاوية يساوى حاصل قسمة الضلع المجاور للزاوية x مقسوما على الوتر اما جيب الزاوية فيساوى حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية y مقسوما على الوتر

    وبضرب الطرفين فى اى من المعادلتين فى r نحصل على معادلات التحويل من النظام الكارتيزى الى النظام القطبى الدائرى

    يمكن للقارئ ان يفهم المعادلات اعلاه على انها اسقاطات للمتجه r بحيث يكون الاسقاط المجاو للزاوية x يعطى بحاصل
    ضرب نصف القطر مضروبانا فى جيب تمام الزاوية, اما الاسقاط المقابل y يعطى بحاصل ضرب نصف القطر فى جيب الزاوية,
    هذه القاعدة سوف تكون مفيدة عند تناول عملية تحويل المحاور الكارتيزية x و y و z الى نظام الاحداثيات الكروية.
    الان دعنا نحسب التغير فى المحاور x و y بدلالة التغيرات المقابلة فى نظام الاحداثيات الدائرى, من اجل هذه الحسابات يحتاج القارئ لمعرفة مبادئ التفاضل البسيطة, ولكى نعطى وصفا ذاتيا متكاملا
    لمادة هذا الموضوع سوف اضع علاقة عامة لتعريف التغير فى دالة ما افترض دالة تعتمد على المتغيرات x و y. الان نجد ان التغير فى الدالة f يعطى بقاعدة السلسلة التالية

    بالرجوع الى المعادلة (23) نجد ان x و y دوال فى كل من r و سيتا وعليه بتطبيق قاعدة السلسلة (24) نحصل على

    ومن المعادلات (23) يمكن حساب التفاضلات اعلاه

    وبالتعويض المباشر فى المعادلات (26) نجد ان

    وهكذا نستطيع حساب مربع عنصر الطول فى الاحداثيات القطبية على النحو التالى

    وبفك التربيع فى المعادلة اعلاه نحصل على

    واستخدام العلاقة المثلثية نحصل على

    والتى يمكن اعادة كتابتها بالصورة التالية

    وبمقارنة المعالة (29) مع المعادلة (28) نحصل على قيم المعاملات والتى تمثل مركبات الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الدائرية

    وبقية المعاملات التى لم تظهر فى المعادلة (28) تساوى اصفارا يمكن ترتيب مركبات g فى شكل مصفوفة على النحو التالى :

    وهذا هو الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الدائرى
    دعنا الان نتحث عن منظومة احداثيات مستوية فى فضاء ثلاثى الابعاد, ولتكن المنظومة الكارتيزية x و y و z. والمطلوب هو ايجاد تحويل من الاحداثيات الكارتيزيه
    هذه الى نظام الكروية المعرفة بنصف قطر r وزوايا و

    الان سوف نطبق قاعدة الاسقاط اعلاه

    اسقاط r المجاور للزاوية يمثل المركبة z اى ان

    اما الاسقاط المقابل للزاوية لا يمثل اى من المركبات x و y وانما هو الخط المظلل فى المستوى x-y ويساوى وهو يمثل نصف قطر جديد يمكن ان نسقطه فى
    اتجاه كل من x و y وعليه يكون اسقاط نصف القطر الجديد فى الاتجاه المجاور لزاوية هو المركبة x اى ان

    اما اسقاط نصف القطر الجديد فى الاتجاه المقابل لزاوية يمثل المركبة y اى ان

    وهكذا نحصل على معادلات التحويل من الاحداثيات الكارتيزية الى الاحداثيات الكروية

    لحساب التغير فى x و y و z نجد ان x و y و z دوال فى كل من r و سيتا وفاى وعليه بتطبيق قاعدة السلسلة لثلاثة متغيرات نحصل على التغيرات التالية

    ومن المعادلات (31) يمكن مباشرة حساب التفاضلات التى تظهر فى المعادلة الاخيرة

    وبتعويض هذه التفاضلات فى المعادلات (32) نحصل على

    وهكذا نستطيع حساب مربع عنصر الطول فى الاحداثيات الكروية على النحو التالي


    و بعد فك الحدود المربعة فى المعادلة اعلاه واستخدام العلاقة المثلثية التى ورد ذكره فى المشاركة السابقة سوف نحصل على

    وبمقارنة هذه المعادلة مع الصيغة العامة التالية

    نحصل على قيم المعاملات والتى تمثل مركبات الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الكروية

    وجميع بقية مركبات g تساوى الصفر.

    يمكن ترتيب مركبات g فى شكل مصفوفة على النحو التالى :

    وهذا هو الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الكروي

    0 Not allowed!



  4. [444]
    عضو متميز


    تاريخ التسجيل: Aug 2010
    المشاركات: 597
    Thumbs Up
    Received: 2
    Given: 0
    لقد تحدثنا فى المشاركتين السابقتين عن تحويل نظام الاحدثيات من احداثيات كارتيزية الى احداثيات قطبية و كروية , ولكن حتى الان لن لم نتحدث عن ادخال البعد الزمني كمحور إضافي وكانت مناقشتنا تنحصر فى انوع محددة من نظم الاسناد, الان نريد ايجاد صيغة عامة للتحويل من اى نظام احداثيات رباعية الى آخر . ومن جل هذا الغرض سوف نقوم بتعميم نفس الطريقة التى استخدمناها فى المشاركة السابقة :

    الطريقة العامة لتحويل نظم الاحداثيات
    1) نعرف نظام احاثيات رباعى مركباته هى وسوف نفترض ان الاخداثيات الرباعية تعتمد على معامل واحد هو s اى انها جميعها دوال فى s اي ان

    2) الان نريد التحويل من نظام احداثيات العام الى نظام احداثيات عام اخر هو

    3) لاحظ انه ليست لدينا اى فكرة عن العلاقة بين النظامين الاحداثين x و y كما كانت لدينا العلاقات التى تربط الاحداثيات الكارتيزية بالاحداثيات الكروية فى المعادلات (31) ولكن كل ما نعلمه هو وجود علاقة ما تربط بـ
    اى ان احداثيات نظام الجديد هي دالة فى احداثيات النظام القديم


    4) نستخدم قاعدة السلسلة لايجاد التغير فى نظام الاحداثيات y (مثلما فعلنا فى المعادلات (32))

    والمعادلة الاخيرة يمكن كتابتها فى شكل مجموع كما يلى:


    يمكن للقارئ ان يستخدم قاعدة تجميع انشتاين ويسقط علامة التجميع طالما ان المعامل قد تكرر مرتين فى المعادلة السابقة

    لا حظ ان المعامل التفاضلى به معاملين و (لترقيم الصف والعمود)لذا فهو يلعب دور مصفوفة غير شاذة (محددها لا يساوى الصفر)

    الان ايضا من المعادلة الاخيرة يمكن ايجاد التحويل العكسى من نظام الاحداثيات y الى نظام الاحداثيات x اى

    وهذا هو التغير فى الاحداثى اما التغير فى احداثى فهو يُعطى بنفس المعادلة اعلاه و لكن فقط بتغير الى وتغير الحرف المتكرر باي حرف اخر (كما يحلو للقارئ فله مطلق الحرية فى اختيار الحرف المتكرر) وليكن بيتا مثلا

    الان بضرب المعادلتين (39) و (40) نحصل على

    اذا ضربنا طرفي المعادلة الاخيرة فى الممتدد المترى المُعرّف فى منظومة الاحداثيات x نحصل على مربع طول الفترة التالي

    اذن من الواضح ان الحد المضروب فى فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة, هو الممتدد المترى فى نظام الاحداثيات y والذى سوف نرمز له برمز g تيلدا

    وهكذا نكون قد تحصلنا على الطريقة العامة لتغير نُظم الاحداثيات و المعادلة (42) هى المعادلة العامة لتغير الممتدد المترى من اطار الى آخر

    0 Not allowed!



  5. [445]
    عضو متميز


    تاريخ التسجيل: Aug 2010
    المشاركات: 597
    Thumbs Up
    Received: 2
    Given: 0
    معادلة الجيودسك




    الجيودسك هو اقصر خط يربط بين نقطتين فى الفضاء المنحني. لإيجاد هذه المعادلة سوف نستخدم النتائج التى تحصلنا عليها فى المشاركة السابقة وهى حرية تغير نظام الاحداثيات كيفما نشاء طالما اننا نطبق قوانين التحويل سالقة الذكر.
    من اجل التبسيط افترض ان نظام الاحداثيات هو نظام كارتيزى اما النظام





    معادلة الجيودسك



    الجيودسك هو اقصر خط يربط بين نقطتين فى الفضاء المنحنى. لا يجاد هذه المعادلة سوف نستخدم النتائج التى تحصلنا عليها فى المشاركة السابقة وهى حرية تغير نظام الاحداثيات كيفما نشاء طالما ننا نطبق قوانين التحويل سالقة الذكر.

    من اجل التبسيط افترض ان نظام الاحداثيات هو نظام كارتيزى (مستوى) اما النظام هو عبارة عن فضاء منحنى, وهكذا طالما ان نظام الاحداثيات هو نظام مستوى, فان اقصر خط يربط بين نقطتين هو الخط المستقيم , اما نظام الاحداثيات x فهو نظام احداثيات لفضاء منحنى لذا فان اقصر خط فيه هو ما يعرف بالجيودسك

    دعنا الان نحسب معدل تغير بالنسبة لمعامل s (بالطبع تفاضل الخط المستقيم يمثل ميل الخط المستقيم) ولكن نحن افترضنا ان نظام الاحداثيات يعتمد على لذا سوف نستخدم قاعدة التفاضل الضمنى( او قاعدة السلسلة )



    لاحظ ان تكرر المعامل الحر ميو يستلزم عملية الجمع (قاعدة انشتاين للتجميع)

    الان نريد حساب المشتقة الثانية (اى تفاضل المشتقة الاولى وهو يساوى تفاضل الميل الثابت للخط المستقيم)



    لاحظ ان التفاضل فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة هو تفاضل حاصل ضرب دالتين ويخضع للعلاقة

    ( الدالة الاولى فى تفاضل الدالة الثانية زائدا تفاضل الدالة الاولى فى الدالة الثانية)



    لاحظ ان الحد الثانى فى المعادلة الاخيرة هو تفاضل بالنسبة ل s لمقدار يعتمد ضمنيا على s لذا يجب تطبيق قاعدة التفاضل الضمنى مرة اخرى على هذا الحد لنحصل على




    لاحظ وجود الجمع لتكرار المعامل ميو فى الحد الاو ل الايمن ووجود الجميع على ميو ونيو فى الحد الثانى فى الطرف الايمن. دعنا الان نغير المعامل المتكرر ميو فى الحد الاول الى معامل اخر لامدا وذلك لكى نتمكن كن استخراج عامل مشترك بين الطرفين من دون ان يظهر حرف ميو متكررا اكثر من مرة واحدة فى الحد الثانى (تزكر اننا قلنا ان للقارئ مطلق الحرية فى تسمية الحرف المترر ولكن يجب عدم تكرره اكثر من مرة لكى لاتلتبس عليه عملية الجمع)



    باستخراج من طرفى المعادلة الاخيرة سوف يظهر مقلوبه (التفاضل العكسى) مضروبا فى الحد الثانى فى الايمن




    قلنا ان y عبارة عن فضاء مستوى لذا فان اقصر خط يربط بين نقطتين هو الخط المستقيم وعليه المشتقة الاولى بالنسبة ل s تمثل ميل الخط المستقيم (من الناحية الدينميكية فان المشتقة الاولى بالنسبة ل s مقسومة على سرعة الضوء تمثل السرعة اللحظية) اما المشتقة الثانية فهى عبارة عن تفاضل للميل الثابت للخط المستقيم وعليه يجب ان تساوى الصفر (المشتقة الثانية للسرعة تساوى التسارع ) وهكذا يكون الطرف الايسر من المعادلة الاخيرة مساويا للصفر والسبب هو

    هندسيا: ميل الخط المستقيم فى الفضاء المستوى يكون ثابتا وعليه فان تفاضله يساوى الصفر
    فيزيائيا : اذا استبدلنا s/c (اى زمن اطار السكون) فان المشتقة الاولى تمثل السرعة الثابتة اما المشتقة الثانية تمثل التسارع ولماكانت السرعة ثابته فان التسارع يجب ان يساوى الصفر

    وهكذا بالتعويض فى المعادلة الاخيرة نحصل على معادلة الجيودسك وهى معادلة اقصر خط يربط بين نقطتين فى فضاء منحنى



    الحد

    يعرف بحد كرستوفل ويرمز له بالرمز ولو لا هذا الحد (اى انه لا يساوى الصفر) لكانت المشتقة الثانية ل x تساوى صفرا وهذا واضح من المعادلة الاخيرة. اذن فان هذا الحد يدل على وجود انحناء (لا يساوى الانحناء ولكن يدل على الانحناء) فى نظام الاحداثيات x . اما اذا نظرنا له من الناحية الفيزيايئية فلو لا هذا الحد لكان التسارع يساوى الصفر وعليه فان هذا الحد يدل على وجود مصدر للتسارع اى يرتبط بالقوة التثاقلية



    وهى المعادلة العامة للجيودسك وهى تمثل مسار الشعاع الضوئى فى الفضاء المنحنى لان الضوء يسلك اقصر مسار يربط بين نقطتين

    لاحظ فى الرسم ادناه لو كان الفضاء مستويا لسلك الضو المسار الاحمر ولكن نسبة لان الفضاء منحنيا نسبة لوجود قوى تثاقل نجمت عن الكتلة المبينة بالرسم, فان الضوء يتحرك فى الجيودسك المبين باللون الازرق الفاتح




    عامل كرسوفل Christoffel symbol

    فى المشاركة السابقة اوجدنا عامل كرسوفل بدلالة التفاضلات على الاحداثيات المحلية و لكن بشكل عام يمكننا ان نكتب عامل كرسوفل بدلالة التفاضلات على الممتدد المترى على النحو التالى



    لاحط ان تكرار المعامل الفا يعنى الجمع من الفا=صفر الى الفا=3 وايضا يجب على القارئ ان ينتبه الى ان هو معكوس الممتدد المترى

    لاحظ ان من خواص عامل كرسوفل انه لا يتخير عند تغير ميو بنيو (فقط نكون بدلنا التفاضلين الاول والثانى فى المعادلة (44)) اى ان



    0 Not allowed!



  6. [446]
    عضو متميز


    تاريخ التسجيل: Aug 2010
    المشاركات: 597
    Thumbs Up
    Received: 2
    Given: 0
    ملاحظة المعادلة الجيوديسية ( غير ظاهرة بالموضوع السابق)
    وهى:




    اشتقاق المعادلة



    0 Not allowed!



  7. [447]
    عضو متميز


    تاريخ التسجيل: Aug 2010
    المشاركات: 597
    Thumbs Up
    Received: 2
    Given: 0
    كتب اخى الكريم د/ الصادق


    الحلول المضبوطة لمعادلات حقل انشتآين

    تُعطي معادلات حقل انشتآين التي تصف قوى التثاقل الكوني في حالة وجود ثابت كوني بـ





    حيث يُمثل الممتد المتري و ممتد ريتشي و ثابت انحناء ريتشي و يمثل ممتد الطاقة والاندفاع، راجع موضوع مقدمة رياضية مختصرة للنسبية العامة. اما الثابت الكوني فقد اقترحه انشتآين لانه لم يتمكن من الحصول على حل يصف الكون الساكن Static universe الا من خلال إضافة هذا الثابت الذي يمثل كثافة طاقة الفراغ. و بعد اكتشاف هابل Hubble للكون المتمدد عندما وجد ان المجرات تتباعد عن بعضها البعض مما يعني ان الكون فى حالة توسع مستمر فقد تخلى الفيزيائيون عن فكرة الثابت الكوني وتم اسقاطه من معادلات حقل انشتآين , وحتى ان انشتآين قد وصف إضافته للثابت الكوني بالخطأ الفادح حيث كان بامكانه منذ البداية التنبؤ بتمدد الكون من خلال معادلاته من دون إضافة الثابت الكوني. أيا كان فإن الأمور ليست بهذه البساطة وفي الحقيقة الان تعتبر مُشكلة صغر مقدار الثابت الكوني واحدة من اكبر المعضلات في الفيزياء النظرية. وفقاً للمتعارف عليه في نظرية المجال الكمي فان كثافة طاقة الفراغ يجب ات تكون اكبر بكثير جداً من القيم المُتحصل عليها من المشاهدات (القياسات) الفلكية, ولكن في نظرية المجال الكمي لانهتم كثيراً بمسألة طاقة الفراغ وذلك لاننا نحسب فقط الفرغ في مستويات الطاقة، اما في حالة قوى التثاقل الكوني فمن المهم جداً حساب القيم المطلقة للطاقة و عليه نجد ان مشكلة صغر مقدار الثابت الكوني واحدة من اهم المشكلات غير المحلولة و هي تسمى عادة بمشكلة الثابت الكوني.
    نجد في الطرف الايمن في معادلات حقل انشتآين (1) ممتد الطاقة والاندفاع الذي يُعبر عن المحتوى المادي والطاقي للزمكان و في حالة الفضاء الخالي فان اما اذا الزمكان يحتوي مثلاً على اشعاع كهرومغنطيسي فان ممتد الطاقة والاندفاع سوف يأخذ الصورة التالية:



    حيث يُمثل ممتد المجال الكهرومغنطيسي . اما اذا كان الزمكان يحتوي على مائع مثالي فان ممتد الطاقة والاندفاع للمائع المثالي يُعطى بـ



    حيث ان هي كثافة المائع و p ضغط المائع و متجه السرعة رباعي الابعاد. و اخيراً اذا كان الزمكان يحتوي على مائع مثالي و على اشعاع كهرومغنطيسي في نفس الوقت فان ممتد الطاقة والاندفاع سوف يتأخذ الشكل التالي :




    بالطبع هناك حالات اخرى اكثر تعقيداً و نسبة للتعقيد في معادلات حقل انشتآين فمن العسير ايجاد حلول تامة و مضبوطة لها، الا فى حالة التناظرات القصوى (اقصى مقدار للتناظر في الزمكان). و تجدر الاشارة الى ان الحلول المضبوطة هي حالة لوضع مثالي ولكنها مع ذلك تمدنا بالخصائص النوعية التي تنبثق عن النسبية العامة و ايضاً على الخصائص المحتملة لحلول معادلات انشتآين التي تصف الواقع (غير المثالي)

    0 Not allowed!



  8. [448]
    عضو متميز


    تاريخ التسجيل: Aug 2010
    المشاركات: 597
    Thumbs Up
    Received: 2
    Given: 0
    نموذج التضخم الكونى
    Cosmic Inflation Model


    هو فرضية تقول بان الكون بعد نشأته قد مر بمرحلة تم فيها توسع متطرد او متسارع فى الكون و اول نموذج يحمل هذه الخاصية التضخمية قد افترضه الكسى ستاروبنسكى لتفادى الشذوذ التماثلى
    conformal anomaly فى النظرية التجاذبية الكمية وهذه النظرية التضخمية رغم تعقيداتها تختلف عن تلك المستخدمة فى علم الكوزمولوجى , وبدلا من ان يقوم الكسى بحل مسألة التجانس و ايسوتروبى (وحدة الخواص) فقد افترض منذ البداية ان الكون متجانس وايسوتروبيى والسبب هو ان الغاية التى من اجلها واضع الكسى نموذجه التضخمى تختلف عن تلك الغاية فى النموذج التضخم الكونى فى علم الكوزمولجى

    وهكذا كان نموذج الكسى هو اول نموذج تنبأ بالامواج التثاقلية ذات الطيف المستوى
    Gravitational waves with flat spectrum
    والاهم من ذلك ان اول اَلية لانتاج اضرابات اديباتيكية على الممتد المترى (المترك) فى الطيف المستوى وهى الالية المسئولة عن تفسير انتاج المجرات والتى تم العثور عليها بمشاهدات اشعاع الخلفية متباين الخواص. هذه الالية قد اقتراحها كل من مخائلوف و شيبيسوف فى سياق نموذج الكسى ستاروبسكى هذا.
    وهناك واحد من ابسط نماذج التضخم الكونى قد وضعه الين قوث والان هذا النموذج يطلق عليه اسم التضخم الكونى القديم وهذا النموذج يعتمد على نظرية التبريد الفائق فى مرحلة الانتقال الطورى الكونى Cosmological phase transition وهى مرحالة ينتقل فيها الكون من طور الى طور اخر

    وعلى الرغم من ان هذا السناريو للتضخم الكونى لم يكتب له النجاح الا انه لعب دور كبير جدا فى تطوير نموذج تضخُمى للكون فى علم الكوزمولوجى لانه اعطى وصفا فيزيائيا واضحا لكيفية استخدام التضخم الكونى فى حل معضلات الكوزمولوجى

    على قرار هذا السناريو الذى وضعه الن قوث فان التضخم الكونى كان عبارة عن تمدد متسارع بصورة متطردة ( تمدد كونى بدالة اسية) فى الحالة الفراغية الكاذبة فائقة البرودة.
    يقصد بالحالة الفراغية الكاذبة بانها حالة ورائية خالية من المجالات والجسيمات ولكن لها كثافة طاقة عالية جدا (تخيل معى كون ممتلئ بهذا العدم (اللاشئ) الثقيل جدا)
    وعندما يتمدد الكون فان الفضاء الخالى لا يتأثر ويظل خاليا ولا تتغير كثافة طاقته لذا فان الكون الذى له كثافة طاقة ثابته فانه يتمدد بتسارع متطرد (تمدد بدالة اسية متذائدة) اما فى الفراغ الكاذب يكون التمدد مضمحلا بمعنى اخر يتمدد الكون ذو الكثافة الطاقية الثابتة بدالة اسية بينما يضمحل الفراغ الكاذب

    وهكذا فان هذا التمدد الكونى نسبة لذيادته المتسارعة ينتج عنه كون كبير جدا ومستويا جدا ويبدأ الفراغ الكاذب فى الاضمحلال وبعد عملية الانتقال الطورى تظهر فقاعات (تشبه فقاعات رغوة الصابون) وتتصادم هذه الفقاعات مع بعضها البعض مما يتسبب فى ذيادة درجة حرارة الكون
    للأسف فان هذه الصورة البسيطة والبديهية للتضخم فى الحالة الفراغية الكاذبة (وهى غالبا ما تعرض فى كتب الفيزياء لغير المتخصصين) مضللة الى حد ما لان الفقاعات التى تظهر فى الطور الجديد اذا تم تكونها بالقرب من بعضها البعض فان التصادمات بينها تجعل الكون غير متجانساً بصورة كبيرة وهذا يتناقض مع حقيقة ان الكون متجانس. اما اذا افترضنا ان الفقاعات تكونت متباعدة عن بعضها البعض فان اى فقاعة سوف تمثل كون مفتوح منفصل بنفسه ويكون له كثافة صغير جدا وتقترب من الصفر
    لذلك فان كلا الخيارين غير مقبول مما قاد الى ان هذا السناريو لا يمكن تحسينه

    هذه المشكلة فى سناريو الن قوث قد تم حلها بوضع نظرية جديد للتضخم الكونى وفى هذه النظرية يمكن للتضخم اما ان يبدأ فى الحالة الفراغية الكاذبة او فى حالة غير مستقرة تقع فى قمة (النهاية العظمى) دالة الجهد (لاحظ ان الحالات الفيزيائية المستقرة والتى نحصل عليها من معادلة الحركة تمثل النهائية الصغرى لدالة الجهد) .
    لتوضيح الصورة تخيل معى جسم (يقابل دالة مجال فاي) فى قمة جبل (هذا الجبل يمثل دالة الجهد الفعال للمنظومة ) فاذا تحرك الجسم حركة صغيرة الى جهة اليمن او اليسار(حركة الجسم هذه تقابل اضطراب فى الدالة فاى) فانه سوف يتدحرج من قمة الجبل الى قاعه ( ولذلك تكون هذه الحالة غير مستقرة) والان فان حركة المجال فاى بعيدا عن الحالة الفراغية الكاذبة (قمة دالة الجهد) لها اهمية خاصة : لان الاضطراب فى الكثافة التى نتجت خلال عملية التدحرج البطئ للتتضخم يتناسب تناسبا عكسيا مع تفاضل المجال فاى بالنسبة للزمن. وهكذا فان الفرق الرئيسى بين السناريو الجديد للتضخم الكونى والسناريو القديم (السناريو الذى اقترحه الن قوث) يكمن فى ان السناريو الجديد يتسبب فى جعل الكون متجانسا لان فى السناريو الجديد لا يحدث التضخم الكونى فى الحالة الفراغية الكاذبة اى عندما يكون تفاضل المجال فاى بالنسبة للزمن منعدما (انعدام المشتقة الاولى عند النهائية)كما هو الحال فى سناريو الن, بل يحدث التضخم بعيدا عن الحالة الفراغية الكاذبة اى عندما لا يكون تفاضل فاى بالنسبة للزمن مساويا للصفر, مما يجعل الكون متجانساً
    كلٍ من السناريويون الجديد والقديم يمثل تعديل كبير لنظرية الانفجار العظيم الا ان هذا التعديل غير مكتملا . كان ولا يزال يفترض ان الكون كان فى حالة اتزن حرارى منذ بداية نشاءته وكان متجانسا تجانسا نسبيا وكبير بما يكفى حتى لينجو بنفسه( لا ينهار) الى بداية مرحلة التضخم. ومرحلة التضخم هذه ما هى الا مرحلة وسيطة من من تطور الكون. وفى حقبة الثمانينات من القرن السابق كانت هذه الفرضية طبيعية وبديهية جدا ولا مفر منها بناءا على ماهو متاح من الملاحظات ( اشعاع الخلفية الكونية) وكان الجميع يعتقد بان الكون قد بدأ من الانفجار الكبير الساخن جدا , ولذلك كان من الصعب التخلى عن جميع هذه الافتراضات, الا انه قد تم وضع سناريو جديد للتضخم الكونى يعرف بسناريو التضخم الفوضوى Chaotic inflation scenario
    وهذا السناريو حل جميع مشكلات السناريو الجديد و السناريو القديم ووفقا لهذا السناريو الفوضوى قد يحدث التضخم فى نظريات لها دوال جهد بسيطة مثل
    حيث يمكن للتضخم ان ينشاء حتى ولو لم يكن هناك اتزن الحرارى فى بداية الكون ويمكن ان يبدأ التضخم فى كثافة مساوية لكثافة بلانك مما يجعل مشكلة الحالة الابتدائية للتضخم سهلة الحل.

    0 Not allowed!



  9. [449]
    عضو متميز


    تاريخ التسجيل: Aug 2010
    المشاركات: 597
    Thumbs Up
    Received: 2
    Given: 0
    النظرية إم (المصفوفة)
    1-مقدمة
    لقد برزت خلال الثلاثة عقود المنصرمة بُنية نظرية مدهشة رشحت نفسها لتكون هي النظرية الاساسية لوصف الطبيعة، وحتى وقت قريب كانت هذه البُنية النظرية تُعرف تحت مسمى النظرية الخيطية "نظرية الاوتار" حيثُ كان يُعتقد بان النظرية الاساسية للطبيعة ينبغي ان يُعبر عنها بشكل اكثر فعّالية من خلال اوتار مُكممة quantized strings اى عن طريق درجات حرية الوتر الكمي. و منذ العام 1995 و نتيجة للعديد من التطورات الحديثة فقد تغيرت وجهة نظرنا هذه تغيراً جزرياً. و قد قاد التوسع فى المعرفة و ازدياد مستوى الفهم للجوانب اللا إضطرابية nonperturbative لنظرية الاوتار الى الادراك بان كل النظريات الوترية (خمسة نظريات هي نظريه الاوتار النوع الأول، نظريه الاوتار النوع الثاني A، نظريه الاوتار النوع الثاني B، نظريه الاوتار HE و نظريه الاوتار HO) تبدو كحالات نهاية خاصة لنظرية اكثر شمولية و اساسية اُطلق عليها إسم النظرية إم M-theory .
    في حين أن نظريات الأوتار الفائقة قد أعطت نماذج مجهرية microscopic لنظرية التثقال الكمي في 10 ابعاد زمكانية space-time فاننا نجد ان النظرية إم تحتاج الى 11 بعداً زمكانياً. ونحن حتى الان ليس لدينا تعريف اساسي دقيق للنظرية إم. و لكن من المتوقع ان يبرز عدد الابعاد الزمكانية فى الصياغة الاكثر طبيعية للنظرية كتقريب سلس Smooth approximation لمنظومة رياضية غير هندسية.
    في الوقت نفسه الذي حلت فيه النظرية إم محل نظريات الاوتار الفائقة باعتبارها المرشح الطبيعي للنظرية التى تُعطي الوصف الاساسي (الجوهري) للكون، فان الاوتار قد فقدت دورها كدرجة حرية اساسية.
    كلا من النظرية إم ونظرية الأوتار تحتوي على كائنات ديناميكية dynamical objects مختلفة فى عدد ابعادها ونجد انه بالاضافة للوتر اُحادي البعد (1-غشاء) فان نظريات الاوتار تحتوي على كائنات نقطية pointlike objects (غشاء-0) و اغشية ثنائية الابعاد membranes (غشاء-2) و اغشية ثلاثية الابعاد (3-غشاء) و كائنات من مختلف عدد الابعاد قد تصل الى ثمانية او تسعة ابعاد. ومن الناحية الاخرى يبدو ان النظرية إم التى تعيش فى 11 بُعداً زمكانياً تحتوي فقط على اغشية ديناميكية ثنائية وخماسية اى 2-غشاء و 5-غشاء. و بين كل درجات الحرية هذه فانه لا يوجد اي سبب بسيط واضح يفسر لنا لماذا نجد ان "اوتار" نظرية الاوتار اكثر اساسية من الاغشية الصفرية (الجسيمات النقطية) و الاغشية الثلاثية ..الخ فى نظرية الاوتار، او من الاغشية الثنائية (2-غشاء) فى النظرية إم. و فى حين ان التوسع الاضطرابي perturbative expansion فى نظرية الاوتار يبدو منطقياً فى النطاق الذي يكون فيه للنظرية ثابت اقتران وتري string coupling صغير المقدار, فان هناك ايضاً حدود تجعل النظرية توصف بديناميكا الطاقة المنخفضة low-energy dynamics لمنظومة الاغشية ذات عدد الابعاد الأعلى او الادنى. و يبدو انه من خلال اعتبار ديناميكا اي من درجات الحرية هذه, فاننا نستطيع فقط التوصل الى جزء من الوصف الفيزيائي الكامل للنظرية إم.

    0 Not allowed!



  10. [450]
    عضو متميز


    تاريخ التسجيل: Aug 2010
    المشاركات: 597
    Thumbs Up
    Received: 2
    Given: 0
    كتب اخى الكريم د/ الصادق

    اشتقاق معادلة شرودنجر (المعادلة الاساسية فى ميكانيكا الكم)

    معلوم اننا فى ميكانيكا الكم نستبدل الكميات المُقاسة كلاسكياً بمؤثرات مقابلة لها تؤثر على دالة تسمى بالدالة الموجية وهى دالة تتمتع بخصائص رياضية محددة (دالة منتهية , أُحادية القيمة وتؤول الى الصفر عند الاطراف اللانهائية للفضاء )

    يعطى مؤثر الطاقة بالشكل التالى:



    بينما يعطى مؤثر كمية الحركة الخطية بـ



    الان نستخدم تعريف الطاقة الكلية على انها مجموع طاقتى الحركة والجهد وعليه يكون مؤثر الطاقة الكلية يساوى مجموع مؤثرى طاقة الحركة وطاقة الجهد



    ولكن طاقة الحركة تساوى نصف الكتلة ضرب مربع السرعة



    ولكن من جانب اخر نجد ان كمية الحركة تساوى حاصل ضرب الكتلة فى السرعة وعليه نجد ان السرعة تساوى كمية الحركة مقسومة على الكتلة وهكذا بالتعويض فى طاقة الحركة اعلاه نحصل على



    وهكذا نستطيع كتابة مؤثر الطاقة الكلية بدلالة مؤثر كمية الحركة



    وبتعويض قيمة مؤثر الطاقة وكمية الحركة نحصل على




    وكما قلنا سابقاً ان المؤثرات الكمية تؤثر على دالة موجية فاننا نستطيع ضرب طرفى المعادلة اعلاه فى دالة موجية ابساى لنحصل على معادلة شرودنجر


    0 Not allowed!



  
الكلمات الدلالية لهذا الموضوع

عرض سحابة الكلمة الدلالية

RSS RSS 2.0 XML MAP HTML

Search Engine Optimization by vBSEO ©2011, Crawlability, Inc.